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Posts Tagged ‘Matemáticas’

En la resolución de problemas matemáticos, se suele ir a la consulta de un médico bastante peculiar: el Dr. “Peor de Todos los Casos”. Se trata que, ante varias posibles soluciones a una cuestión, nos imaginemos el peor de todos los casos posibles. He aquí un sencillo ejemplo combinatorio:

Principio de Dirichlet: Si introducimos 5 cartas en 4 buzones, por lo menos uno de ellos tendrá por lo menos dos cartas.

A simple vista parece sencillo, y lo es, lo interesante es que puede ser generalizado. Pero, a todo esto, ¿dónde interviene el Peor de Todos los Casos? Si os fijáis en la formulación, hay dos veces la expresión “por lo menos”, lo que no excluye que haya más de los afirmados. Por ejemplo, si repartimos las 5 cartas en los 4 buzones de la siguiente manera:

2 | 2 | 0 | 1

Obtenemos un caso con 2 buzones con 2 cartas, lo que es más de lo afirmado con el primer “por lo menos”. ¿Puede haber menos de un buzón con dos (o más) cartas? Es aquí en donde interviene nuestro “doctor”: Supongamos el Peor de Todos los Casos posibles, esto es, el caso en que en cada buzón hay una sola carta:

1 | 1 | 1 | 1

Pero como hay 4 buzones y 5 cartas, sobra una carta, que debe ponerse en uno de los buzones que ya tienen una carta. De este modo, el Dr. Peor de Todos los Casos nos permite asegurar que ¡por lo menos! un buzón tendrá 2 cartas. Solo nos queda examinar el otro “por lo menos”, aunque seguro que ya os habréis avanzado. Arriba he dicho que por lo menos un buzón contiene “por lo menos” dos cartas, lo que no excluye que pueda tener más, como en este caso:

1 | 3 | 1 | 0

Sin embargo, el Peor de Todos los Casos sucede cuando en cada buzón hay una carta. Pero, como vimos antes, en este caso queda una carta libre que debe ponerse forzosamente en un buzón que ya contiene una carta, con lo que al menos un buzón dispondrá de ¡por lo menos! dos cartas.

Ahora, una vez presentados los dos protagonistas de esta historia (el principio de Dirichlet y el Dr. Peor de Todos los Casos), estamos en condiciones de resolver una duda que ha corroído la humanidad desde que nos peinamos. Tomando como dato empírico que toda persona tiene a lo sumo 5 cabellos por milímetro cuadrado en su cabeza,

¿Cuál es el máximo número del que podemos decir que hay como mínimo dicho número de personas en todo el mundo con idéntica cantidad de cabellos en la cabeza?

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Juego inspirado en los famosos acertijos de Raymond Smullyan.

En mis días de intrépido aventurero visité un lejano manicomio donde, como en todo manicomio, había médicos y pacientes. Lo singular de este manicomio era que todos los médicos eran estrictamente honestos (nunca mentían) y todos los pacientes nunca decían la verdad (mienten siempre, que diría el Dr. House). Como todos vestían de blanco, pareciera que esta diferencia bastaba para distinguir a unos de otros; bastaba con formularles una pregunta trivialmente cierta o falsa como, por ejemplo, “¿es cierto que 2+2=5?”. Pero resulta que no era suficiente, ya que, como en todos los manicomios, en aquel manicomio las personas se dividían en locas y cuerdas: las personas locas estaban completamente erradas en sus creencias, solo creían afirmaciones falsas y creían todas ellas, mientras que las personas cuerdas solo creían afirmaciones vedaderas y creían todas ellas. Sin embargo no era cierto que todos los pacientes estuvieran locos ni que todos los médicos estuvieran cuerdos.

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Manual de “bricodimensiones”

Tomemos un punto y tenemos cero dimensiones, imposible estirarlo infinitamente. Es un axioma básico de geometría. Para construir una dimensión necesitamos al menos dos puntos, los unimos y ya tenemos una línea, la primera dimensión, tenemos longitud. Ahora ya podemos estirar hasta el infinito aunque sólo hacia adelante o hacia atrás. Podemos estirar todo lo que queramos hacia el infinito y siempre tendremos una línea, nunca una superficie.

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La relación entre la superficie y el volumen

Esta relación fue enunciada por primera vez por Galileo.

Para entenderla partamos de un cubo de n centímetros de arista. El volumen de ese cubo será n x n x n, es decir

Esto quiere decir que, un cubo de 1 centímetro de arista tiene un volumen de 1cm³; uno de 2 centímetros de arista tiene un volumen de 8cm³ (2x2x2); uno de 3 centímetros de arista tiene un volumen de 27cm³ (3x3x3)

Dicho de otro modo, el cubo de 3 centímetros de arista está dividido en 27 cubos más pequeños de 1 cm de arista cada uno. La superficie del cubo está formada por 6 caras.

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El teorema de Gödel (2)

Vista la situación y con esta perspectiva no es de extrañar que los matemáticos estuvieran desesperados. Claro que todo esto tiene que explicarse en su justa medida, esta claro que las cosas estaban muy mal, pero tampoco se trata de una ruina total. No se podía tirar por la borda todo lo que se había echo, que era mucho, ni tampoco había demasiado acuerdo entre los matemáticos (ni lo hay actualmente) sobre lo que es lo más importante o urgente o útil en matemáticas – fue una cuestión muy discutida en torno al cambio de siglo xix a xx, que actualmente esta un poco mas abandonada, el qué son las mates y como debemos actuar con ellas. Nadie tenía muy claro como plantear el problema de los fundamentos y la fiabilidad, tampoco todo el mundo tenía interés en ello, (más…)

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El teorema de Gödel (1)

En la matemática se pretende encontrar resultados que nos den información fiable sobre los objetos ideales con motivo de poder resolver problemas en otras partes. Por esto, las contradicciones son siempre un problema. Ya en el origen griego, se había empezado a hacer matemática de forma un tanto naïve, pero la aparición de las aporías de Zenón y otros problemas llevo a los criterios de organización fiable de una disciplina propuestos por Aristóteles (con aportaciones múltiples de varios pensadores de la época) que llevo a los elementos, de Euclides.

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La simetría,el arte de resolver problemas

Cuando se habla de simetría mucha la gente piensa en un espejo. Normalmente se dice que el espejo cambia izquierda y derecha, pero no es así. Lo que ocurre es que el espejo cambia delante y atrás, pero dada la simetría bilateral del cuerpo humano nos parece (erróneamente) que cambia la derecha por la izquierda. El espejo nos muestra como una posible realidad grande se reduce a otra más pequeña mediante la asociación de elementos diferentes con una estructura común. Simetría es lo que queda igual después de haber realizado ciertos cambios.

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