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Archive for the ‘Conceptos clave en matemáticas’ Category

En la resolución de problemas matemáticos, se suele ir a la consulta de un médico bastante peculiar: el Dr. “Peor de Todos los Casos”. Se trata que, ante varias posibles soluciones a una cuestión, nos imaginemos el peor de todos los casos posibles. He aquí un sencillo ejemplo combinatorio:

Principio de Dirichlet: Si introducimos 5 cartas en 4 buzones, por lo menos uno de ellos tendrá por lo menos dos cartas.

A simple vista parece sencillo, y lo es, lo interesante es que puede ser generalizado. Pero, a todo esto, ¿dónde interviene el Peor de Todos los Casos? Si os fijáis en la formulación, hay dos veces la expresión “por lo menos”, lo que no excluye que haya más de los afirmados. Por ejemplo, si repartimos las 5 cartas en los 4 buzones de la siguiente manera:

2 | 2 | 0 | 1

Obtenemos un caso con 2 buzones con 2 cartas, lo que es más de lo afirmado con el primer “por lo menos”. ¿Puede haber menos de un buzón con dos (o más) cartas? Es aquí en donde interviene nuestro “doctor”: Supongamos el Peor de Todos los Casos posibles, esto es, el caso en que en cada buzón hay una sola carta:

1 | 1 | 1 | 1

Pero como hay 4 buzones y 5 cartas, sobra una carta, que debe ponerse en uno de los buzones que ya tienen una carta. De este modo, el Dr. Peor de Todos los Casos nos permite asegurar que ¡por lo menos! un buzón tendrá 2 cartas. Solo nos queda examinar el otro “por lo menos”, aunque seguro que ya os habréis avanzado. Arriba he dicho que por lo menos un buzón contiene “por lo menos” dos cartas, lo que no excluye que pueda tener más, como en este caso:

1 | 3 | 1 | 0

Sin embargo, el Peor de Todos los Casos sucede cuando en cada buzón hay una carta. Pero, como vimos antes, en este caso queda una carta libre que debe ponerse forzosamente en un buzón que ya contiene una carta, con lo que al menos un buzón dispondrá de ¡por lo menos! dos cartas.

Ahora, una vez presentados los dos protagonistas de esta historia (el principio de Dirichlet y el Dr. Peor de Todos los Casos), estamos en condiciones de resolver una duda que ha corroído la humanidad desde que nos peinamos. Tomando como dato empírico que toda persona tiene a lo sumo 5 cabellos por milímetro cuadrado en su cabeza,

¿Cuál es el máximo número del que podemos decir que hay como mínimo dicho número de personas en todo el mundo con idéntica cantidad de cabellos en la cabeza?

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